📐 Fiche de révision · Maths 4e · Espace et géométrie

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Fiche en 3 parties · lecture ~6 min · alignée sur le programme officiel de 4e

Cosinus, sinus et tangente

Dans un triangle rectangle, on définit trois rapports trigonométriques pour un angle aigu (autre que l'angle droit) :

• Cosinus = adjacent / hypoténuse • Sinus = opposé / hypoténuse • Tangente = opposé / adjacent

Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA • Cos = Adjacent / Hypoténuse • Sin = Opposé / Hypoténuse • Tan = Opposé / Adjacent

L'adjacent et l'opposé dépendent de l'angle choisi !

Exemple

Dans le triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Calcule cos(B̂), sin(B̂) et tan(B̂).

Solution : cos(B̂) = AB/BC = 3/5 = 0,6. sin(B̂) = AC/BC = 4/5 = 0,8. tan(B̂) = AC/AB = 4/3 ≈ 1,33.

Pour l'angle B̂, le côté adjacent est AB (qui touche B), l'opposé est AC (en face de B), et l'hypoténuse est BC.

Teste-toi : Dans le même triangle, calcule cos(Ĉ).voir la réponse

cos(Ĉ) = côté adjacent à l'angle C ÷ hypoténuse. Sans les longueurs du triangle, on ne peut pas donner de valeur numérique.

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Calculer une longueur avec la trigonométrie

La trigonométrie permet de calculer une longueur manquante quand on connaît un angle et un autre côté.

Méthode : 1. Identifie l'angle donné. 2. Repère le côté connu et le côté cherché (adjacent, opposé, hypoténuse). 3. Choisis le bon rapport (cos, sin ou tan). 4. Écris l'équation et résous.

Astuce : si le côté cherché est au numérateur du rapport, tu multiplies. S'il est au dénominateur, tu divises.

Exemple

Dans un triangle rectangle, un angle mesure 30° et l'hypoténuse mesure 10 cm. Calcule le côté adjacent à cet angle.

Solution : cos(30°) = adjacent / 10 → adjacent = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0,866 = 8,66 cm.

On cherche le côté adjacent et on connaît l'hypoténuse. Le rapport cosinus relie ces deux côtés. On isole le côté cherché.

Teste-toi : Dans un triangle rectangle, un angle mesure 40° et le côté adjacent mesure 8 cm. Calcule le côté opposé.voir la réponse

tan(40°) = opposé ÷ adjacent, donc opposé = 8 × tan(40°) ≈ 6,71 cm.

Calculer un angle avec la trigonométrie

Quand on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on peut trouver un angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ de la calculatrice.

Méthode : 1. Identifie les côtés connu et cherché par rapport à l'angle. 2. Choisis le rapport approprié. 3. Écris la fraction. 4. Utilise la touche inverse (cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹) pour trouver l'angle.

Important : vérifie que ta calculatrice est bien en mode degrés (DEG) !

Exemple

Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 5 cm et l'hypoténuse mesure 10 cm. Calcule l'angle correspondant.

Solution : sin(x̂) = 5/10 = 0,5. Donc x̂ = sin⁻¹(0,5) = 30°.

On connaît l'opposé et l'hypoténuse, donc on utilise le sinus. On calcule la fraction, puis on utilise sin⁻¹ pour trouver l'angle.

Teste-toi : Dans un triangle rectangle, l'adjacent mesure 6 cm et l'opposé mesure 6 cm. Calcule l'angle.voir la réponse

tan(angle) = opposé ÷ adjacent = 6 ÷ 6 = 1, donc l'angle mesure 45°.

Tu as lu la fiche. Maintenant, vérifie que c'est acquis.

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