📐 Fiche de révision · Maths 4e · Espace et géométrie

Agrandissements et réductions

Fiche en 3 parties · lecture ~6 min · alignée sur le programme officiel de 4e

Qu'est-ce qu'un agrandissement ou une réduction ?

Un agrandissement ou une réduction est une transformation qui conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par un même nombre k, appelé rapport d'agrandissement (ou de réduction).

• Si k > 1 : c'est un agrandissement. • Si 0 < k < 1 : c'est une réduction. • Si k = 1 : la figure reste identique.

Exemple : une photo agrandie à 200% correspond à k = 2. Une photo réduite à 50% correspond à k = 0,5.

Exemple

Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. On l'agrandit avec k = 2. Quelles sont les nouvelles dimensions ?

Solution : 3×2 = 6 cm, 4×2 = 8 cm, 5×2 = 10 cm. Le nouveau triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm.

On multiplie chaque longueur par le rapport k = 2. Les angles restent identiques, seules les longueurs changent.

Teste-toi : Un carré de 6 cm de côté est réduit avec k = 1/3. Quel est le nouveau côté ?voir la réponse

Nouveau côté = 6 × 1/3 = 2 cm.

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Aires et volumes

Quand on agrandit ou réduit une figure avec le rapport k :

• Les longueurs sont multipliées par k. • Les aires sont multipliées par k². • Les volumes sont multipliés par k³.

C'est une règle très importante ! Si on double les dimensions d'un cube (k = 2), son aire est multipliée par 4 (2²) et son volume par 8 (2³).

Exemple

Un cube de 2 cm d'arête est agrandi avec k = 3. Calcule le nouveau volume.

Solution : Volume initial = 2³ = 8 cm³. Nouveau volume = 8 × 3³ = 8 × 27 = 216 cm³. (Ou directement : nouvelle arête = 6 cm, volume = 6³ = 216 cm³.)

Le volume est multiplié par k³ = 27. On peut aussi calculer la nouvelle arête (2×3 = 6 cm) puis le volume directement.

Teste-toi : Un disque de rayon 4 cm est réduit avec k = 0,5. Par combien est multipliée son aire ?voir la réponse

L'aire est multipliée par k² = 0,5² = 0,25.

Trouver le rapport k

Pour trouver le rapport d'agrandissement ou de réduction, on compare une longueur de l'image avec la longueur correspondante de l'original.

k = longueur image / longueur originale

Si k > 1, c'est un agrandissement. Si k < 1, c'est une réduction.

On peut ensuite utiliser ce rapport pour calculer n'importe quelle autre dimension, aire ou volume.

Exemple

Un rectangle de 8 cm sur 5 cm est agrandi en un rectangle de 20 cm sur 12,5 cm. Quel est le rapport d'agrandissement ?

Solution : k = 20/8 = 2,5. Vérification : 5 × 2,5 = 12,5 cm. Le rapport est k = 2,5.

On divise une longueur de l'image par la longueur correspondante de l'original. On vérifie avec l'autre dimension.

Teste-toi : Un triangle de base 9 cm est réduit en un triangle de base 3 cm. Quel est le rapport ?voir la réponse

k = 3 ÷ 9 = 1/3. C'est une réduction.

Tu as lu la fiche. Maintenant, vérifie que c'est acquis.

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