📐 Fiche de révision · Maths 4e · Proportionnalité et fonctions

Fonctions affines

Fiche en 3 parties · lecture ~6 min · alignée sur le programme officiel de 4e

Qu'est-ce qu'une fonction affine ?

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres.

• a est le coefficient directeur (la 'pente' de la droite). • b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f quand x = 0).

Si b = 0, la fonction affine devient linéaire.

Propriété : f(x+1) − f(x) = a. Quand x augmente de 1, f(x) augmente de a.

Exemple

Soit f(x) = 2x + 3. Calcule f(0), f(1) et f(4).

Solution : f(0) = 2×0 + 3 = 3. f(1) = 2 + 3 = 5. f(4) = 8 + 3 = 11.

On remplace x par les valeurs demandées. f(0) = b = 3, c'est l'ordonnée à l'origine.

Teste-toi : Pour f(x) = 3x − 5, calcule f(0) et f(2).voir la réponse

f(0) = 3×0 − 5 = −5 et f(2) = 3×2 − 5 = 1.

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Déterminer a et b

Pour trouver l'expression d'une fonction affine, on a besoin de deux images.

Méthode : 1. On écrit deux équations avec f(x) = ax + b. 2. On soustrait les équations pour trouver a. 3. On remplace a dans une équation pour trouver b.

Graphiquement : a est la pente de la droite et b est l'ordonnée où la droite coupe l'axe vertical.

Exemple

Une fonction affine f vérifie f(2) = 7 et f(4) = 13. Trouve son expression.

Solution : f(2) = 2a + b = 7. f(4) = 4a + b = 13. En soustrayant : 2a = 6 → a = 3. Puis 2×3 + b = 7 → b = 1. Donc f(x) = 3x + 1.

On écrit un système de deux équations. La différence des images donne le coefficient directeur a.

Teste-toi : f(1) = 5 et f(3) = 11. Trouve f(x).voir la réponse

f(x) = ax + b. Entre x = 1 et x = 3, l'image augmente de 6 pour 2 unités, donc a = 3. Avec f(1) = 5 : 3 + b = 5, donc b = 2. Ainsi f(x) = 3x + 2.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

• Le point (0 ; b) est le point de départ (ordonnée à l'origine). • Le coefficient a indique comment la droite monte ou descend.

Pour tracer la droite : 1. Place le point (0 ; b). 2. Avance de 1 en x et monte (ou descends) de a en y pour avoir un deuxième point. 3. Trace la droite passant par ces deux points.

Si a > 0, la droite monte. Si a < 0, elle descend.

Exemple

Trace la droite de f(x) = −2x + 4 dans un repère.

Solution : La droite passe par (0 ; 4) et (1 ; 2). Comme a = −2 < 0, la droite descend. On peut aussi prendre (2 ; 0).

b = 4, donc on commence en (0 ; 4). a = −2, donc quand x augmente de 1, y diminue de 2.

Teste-toi : La droite de f(x) = 0,5x − 3 passe-t-elle par le point (4 ; −1) ?voir la réponse

Oui. f(4) = 0,5×4 − 3 = 2 − 3 = −1, donc la droite passe par (4 ; −1).

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