📐 Fiche de révision · Maths 4e

Puissances et notation scientifique

Fiche en 4 parties · lecture ~8 min · alignée sur le programme officiel de 4e

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance, c'est une façon courte d'écrire une multiplication répétée. 2³ signifie 2 × 2 × 2 = 8. Le petit chiffre en haut s'appelle l'exposant, et le grand chiffre s'appelle la base.

Quelques cas particuliers : • a⁰ = 1 (tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1, sauf 0) • a¹ = a (tout nombre élevé à la puissance 1 vaut lui-même) • a⁻ⁿ = 1/aⁿ (exposant négatif = fraction)

Les puissances de 10 sont particulièrement utiles : 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000.

Exemple

Calcule 3⁴ et 2⁻³.

Solution : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125.

Pour 3⁴, on multiplie 3 par lui-même 4 fois. Pour 2⁻³, l'exposant négatif signifie qu'on prend l'inverse : 1 divisé par 2³.

Teste-toi : Calcule 5² et 10⁻².voir la réponse

5² = 25 et 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01.

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Règles de calcul avec les puissances

Il y a trois règles fondamentales à connaître.

1. Produit de puissances de même base : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Exemple : 2³ × 2⁴ = 2⁷ (on additionne les exposants)

2. Quotient de puissances de même base : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ Exemple : 3⁵ ÷ 3² = 3³ (on soustrait les exposants)

3. Puissance d'une puissance : (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ Exemple : (2³)⁴ = 2¹² (on multiplie les exposants)

Attention : ces règles ne fonctionnent que si les bases sont IDENTIQUES !

Exemple

Simplifie : a) 10⁴ × 10³ b) 6⁵ ÷ 6² c) (5²)³

Solution : a) 10⁴ × 10³ = 10⁷ b) 6⁵ ÷ 6² = 6³ = 216 c) (5²)³ = 5⁶ = 15 625

a) Les bases sont identiques (10), on additionne : 4+3=7. b) On soustrait : 5-2=3. c) On multiplie les exposants : 2×3=6.

Teste-toi : Simplifie 7³ × 7⁵.voir la réponse

7³ × 7⁵ = 7^(3+5) = 7⁸.

La notation scientifique

La notation scientifique permet d'écrire des nombres très grands ou très petits de façon lisible. Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit : a × 10ⁿ, où 1 ≤ a < 10 et n est un entier.

Exemples : • 3 800 000 = 3,8 × 10⁶ • 0,000045 = 4,5 × 10⁻⁵

Comment convertir : → Grand nombre : compte combien de fois tu déplaces la virgule vers la gauche, c'est l'exposant. → Petit nombre : compte vers la droite, l'exposant est négatif.

Application : la distance Terre-Soleil est 1,496 × 10⁸ km. La taille d'un globule rouge est environ 7 × 10⁻⁶ m.

Exemple

Écris 0,00034 et 560 000 000 en notation scientifique.

Solution : 0,00034 = 3,4 × 10⁻⁴ 560 000 000 = 5,6 × 10⁸

Pour 0,00034 : la virgule se déplace de 4 rangs vers la droite pour que le chiffre des unités soit entre 1 et 9, donc exposant = -4. Pour 560 000 000 : la virgule se déplace de 8 rangs vers la gauche, exposant = 8.

Teste-toi : Écris 0,0000012 et 7 400 000 en notation scientifique.voir la réponse

0,0000012 = 1,2 × 10⁻⁶ et 7 400 000 = 7,4 × 10⁶.

Calculer avec la notation scientifique

Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les parties décimales et on additionne les exposants.

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ

Si le résultat de a × b n'est pas entre 1 et 10, il faut ajuster.

Pour diviser : (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ

Exemple : la masse de la Terre est 5,97 × 10²⁴ kg. Celle de la Lune est 7,35 × 10²² kg. La Terre est environ 81 fois plus massive que la Lune.

Exemple

Calcule (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵).

Solution : (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹

On multiplie les parties décimales : 3 × 2 = 6. On additionne les exposants : 4 + 5 = 9. Le résultat 6 est bien entre 1 et 10, pas besoin d'ajuster.

Teste-toi : Calcule (4 × 10³) × (5 × 10⁴). Mets le résultat en notation scientifique.voir la réponse

(4 × 10³) × (5 × 10⁴) = 20 × 10⁷ = 2 × 10⁸.

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