📐 Fiche de révision · Maths 3e · Géométrie

Géométrie dans l'espace

Fiche en 3 parties · lecture ~6 min · alignée sur le programme officiel de 3e

Volume de la pyramide et du cône

La pyramide et le cône ont des formules de volume très similaires.

Volume d'une pyramide : V = (1/3) × aire de la base × hauteur = (1/3) × B × h

Volume d'un cône : V = (1/3) × aire de la base × hauteur = (1/3) × π × r² × h

Le facteur 1/3 est essentiel et très souvent oublié ! Il signifie qu'une pyramide (ou un cône) de même base et même hauteur qu'un prisme (ou un cylindre) a un volume trois fois plus petit.

La hauteur est toujours perpendiculaire à la base, mesurée depuis le sommet jusqu'au plan de la base.

Exemple

Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm. Calcule son volume.

Solution : Aire de la base = 6 × 6 = 36 cm². V = (1/3) × 36 × 10 = 120 cm³.

On calcule d'abord l'aire de la base carrée (36 cm²), puis on applique la formule V = (1/3)×B×h avec h = 10 cm. Le résultat est 120 cm³.

Teste-toi : Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 5 cm. Quel est son volume (en fonction de π) ?voir la réponse

V = (1/3) × π × 3² × 5 = (1/3) × 45π = 15π cm³.

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Volume et aire de la sphère

La sphère est le solide dont tous les points de la surface sont à égale distance du centre (le rayon).

Volume d'une sphère : V = (4/3) × π × r³

Aire d'une sphère : A = 4 × π × r²

Attention à ne pas confondre les deux formules ! Le volume est en unités cubes (cm³, m³...) et l'aire en unités carrées (cm², m²...).

Remarque : l'aire de la sphère ressemble à 4 fois l'aire d'un disque de même rayon.

Exemple

Calcule le volume et l'aire d'une sphère de rayon 3 cm. Donne les valeurs exactes.

Solution : V = (4/3) × π × 3³ = (4/3) × π × 27 = 36π cm³. A = 4 × π × 3² = 36π cm².

On remplace r = 3 dans les deux formules. Pour le volume : 3³ = 27, et (4/3)×27 = 36. Pour l'aire : 3² = 9, et 4×9 = 36. Ici, volume et aire ont la même valeur numérique (36π), mais pas les mêmes unités !

Teste-toi : Quel est le volume d'une sphère de rayon 2 cm (valeur exacte) ?voir la réponse

V = (4/3) × π × 2³ = (4/3) × 8π = 32π/3 cm³.

Conversions d'unités de volume

Les unités de volume se convertissent par des facteurs de 1000 (et non 10 comme pour les longueurs !).

1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³ 1 dm³ = 1 L 1 cm³ = 1 mL

Pour convertir des unités de volume : • De m³ à dm³ : × 1000 • De dm³ à cm³ : × 1000 • De cm³ à m³ : ÷ 1 000 000

Astuce : 1 m = 100 cm, donc 1 m³ = (100 cm)³ = 1 000 000 cm³. C'est pourquoi on multiplie par 1000 à chaque changement d'unité de volume.

Exemple

Convertis 2,5 m³ en dm³, puis en litres.

Solution : 2,5 m³ = 2,5 × 1000 = 2500 dm³ = 2500 L.

Pour passer de m³ à dm³, on multiplie par 1000 car 1 m = 10 dm et 10³ = 1000. Comme 1 dm³ = 1 L, 2500 dm³ = 2500 L.

Teste-toi : Convertis 4500 cm³ en dm³.voir la réponse

1 dm³ = 1000 cm³, donc 4500 cm³ = 4,5 dm³.

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