📐 Fiche de révision · Maths 3e · Nombres et calculs

Équations et inéquations

Fiche en 3 parties · lecture ~6 min · alignée sur le programme officiel de 3e

Résoudre une équation produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Cette règle est très puissante : elle permet de transformer une équation compliquée en plusieurs équations simples.

Méthode : 1) Factoriser l'expression pour obtenir un produit de facteurs. 2) Appliquer la règle : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. 3) Résoudre chaque équation séparément.

Attention : cette règle ne marche que pour le nombre 0 ! On ne peut pas dire A×B = 6 implique A = 6 ou B = 6.

Exemple

Résous l'équation (x − 3)(x + 5) = 0.

Solution : x − 3 = 0 ou x + 5 = 0. Donc x = 3 ou x = −5.

On applique la règle du produit nul : un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Cela donne deux équations du premier degré très simples à résoudre.

Teste-toi : Résous (x + 2)(x − 7) = 0.voir la réponse

(x + 2)(x − 7) = 0 donc x + 2 = 0 ou x − 7 = 0. Les solutions sont x = −2 ou x = 7.

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Résoudre une équation quotient

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul ET son dénominateur est non nul.

Méthode : 1) Identifier les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur). 2) Résoudre l'équation 'numérateur = 0'. 3) Vérifier que les solutions trouvées ne sont pas des valeurs interdites.

Cette étape de vérification est indispensable ! Une valeur qui annule le dénominateur est interdite car on ne peut pas diviser par zéro.

Exemple

Résous (2x − 6) / (x − 1) = 0.

Solution : Valeur interdite : x ≠ 1. On résout 2x − 6 = 0, soit x = 3. Comme 3 ≠ 1, la solution est x = 3.

On commence par chercher la valeur interdite (x−1=0 donne x=1). Puis on résout le numérateur égal à zéro. Enfin, on vérifie que 3 n'est pas une valeur interdite.

Teste-toi : Résous (x + 4) / (x − 2) = 0.voir la réponse

Le numérateur doit être nul : x + 4 = 0, donc x = −4. Le dénominateur n'est pas nul car −4 − 2 ≠ 0. Solution : x = −4.

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit sous la forme : { ax + by = c { dx + ey = f

Il existe deux méthodes principales : • Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre. • Combinaison linéaire : on multiplie les équations pour éliminer une inconnue par addition.

Un système peut avoir : une seule solution (droites sécantes), une infinité de solutions (droites confondues), ou aucune solution (droites parallèles).

Exemple

Résous le système : { 2x + y = 7 et { x − y = −1.

Solution : Par addition : 3x = 6 donc x = 2. En remplaçant dans la deuxième équation : 2 − y = −1, donc y = 3. Solution : (2 ; 3).

On a utilisé la méthode par combinaison : en additionnant les deux équations, les y s'éliminent (y + (−y) = 0). On trouve x = 2, puis on remplace dans une des équations pour trouver y.

Teste-toi : Résous { x + y = 5 et { x − y = 1.voir la réponse

En additionnant les deux équations : 2x = 6, donc x = 3. Puis x + y = 5 donne y = 2. Solution : x = 3 et y = 2.

Tu as lu la fiche. Maintenant, vérifie que c'est acquis.

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