Fonctions de référence (carré et inverse)

La fonction carré associe à chaque nombre son carré. Elle est définie pour tous les réels.

Propriétés importantes : • f(x) = x² est toujours positive ou nulle. • f(−x) = f(x) : la fonction est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). • Sur ]−∞ ; 0], la fonction est décroissante. • Sur [0 ; +∞[, la fonction est croissante.

Attention : x² n'est PAS toujours croissante ! Elle décroît sur les nombres négatifs, puis croît sur les positifs. Le minimum est 0 en x = 0.

La fonction inverse associe à chaque nombre non nul son inverse. Elle N'EST PAS définie en x = 0.

Propriétés importantes : • f(x) = 1/x n'est jamais nulle. • f(−x) = −f(x) : la fonction est impaire (symétrie par rapport à l'origine). • Sur ]−∞ ; 0[, la fonction est décroissante. • Sur ]0 ; +∞[, la fonction est décroissante.

La courbe représentative est une hyperbole avec deux branches, séparées par l'axe des ordonnées (asymptote verticale x=0).

Pour comparer f(a) et f(b), il faut d'abord connaître le sens de variation de f sur l'intervalle contenant a et b.

Pour la fonction carré : • Si a et b sont tous deux positifs (ou nuls) et a < b, alors a² < b². • Si a et b sont tous deux négatifs et a < b, alors a² > b² (le signe s'inverse !).

Pour la fonction inverse : • Si a et b sont de même signe et a < b, alors 1/a > 1/b (la fonction est décroissante sur chaque intervalle).

Règle clé : on ne peut comparer les images que si les deux nombres sont dans un intervalle où la fonction est monotone (tout le temps croissante ou tout le temps décroissante).