📐 Fiche de révision · Maths 5e · Proportionnalité, organisation et gestion de données

Probabilités simples

Fiche en 5 parties · lecture ~10 min · alignée sur le programme officiel de 5e

Le vocabulaire des probabilités

Une expérience aléatoire est une action dont on ne peut pas prédire le résultat (ex : lancer un dé). Chaque résultat possible est une issue. Un événement regroupe plusieurs issues. Par exemple, 'obtenir un nombre pair' avec un dé est un événement composé des issues 2, 4 et 6.

Exemple

On lance un dé à 6 faces. Quelles sont les issues ? Quelles issues composent l'événement 'obtenir un nombre supérieur à 4' ?

Solution : Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'événement 'supérieur à 4' est composé des issues 5 et 6.

Chaque face du dé est une issue possible. L'événement regroupe les issues qui satisfont la condition donnée.

Teste-toi : Quelle est la différence entre une issue et un événement ?voir la réponse

Une issue est un résultat possible. Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues.

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Calculer une probabilité

La probabilité d'un événement se calcule par : P(événement) = (nombre d'issues favorables) ÷ (nombre d'issues possibles). Toutes les issues doivent avoir la même chance (équiprobabilité). La probabilité est toujours entre 0 et 1.

Exemple

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 ? D'obtenir un nombre pair ?

Solution : P(3) = 1/6 (une seule face avec un 3). P(pair) = 3/6 = 1/2 (les faces 2, 4, 6 sont au nombre de 3).

Pour le 3, il y a 1 issue favorable sur 6 possibles. Pour 'pair', il y a 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6 possibles. On simplifie 3/6 en 1/2.

Teste-toi : Comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?voir la réponse

On divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.

Lien entre fréquence et probabilité

Quand on répète une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement = (nombre de fois où l'événement arrive) ÷ (nombre total de répétitions). Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.

Exemple

On lance une pièce 100 fois et on obtient 47 fois Pile. Quelle est la fréquence de Pile ? La pièce est-elle truquée ?

Solution : Fréquence de Pile = 47/100 = 0,47. La probabilité théorique est 0,5. Avec 100 lancers, 47 est proche de 50, donc la pièce ne semble pas truquée.

47/100 = 0,47 est proche de 0,5. C'est normal d'avoir un peu moins ou plus avec 100 lancers. Il faudrait beaucoup plus de lancers pour conclure que la pièce est truquée.

Teste-toi : Pourquoi la fréquence se rapproche-t-elle de la probabilité ?voir la réponse

Parce que plus on répète l'expérience, plus les résultats observés se stabilisent autour de la probabilité théorique.

Arbre de dénombrement simple

Un arbre de dénombrement liste toutes les issues possibles d'une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche représente une possibilité. Pour trouver le nombre total d'issues, on multiplie le nombre de possibilités à chaque étape.

Exemple

On lance une pièce puis un dé à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles ? Quelle est la probabilité d'obtenir Pile et un nombre supérieur à 4 ?

Solution : Nombre total d'issues = 2 × 6 = 12. Issues 'Pile et > 4' : (Pile, 5) et (Pile, 6). Probabilité = 2/12 = 1/6.

À chaque lancer de pièce (2 possibilités), on peut avoir 6 résultats au dé. Au total : 2×6 = 12 issues. Les issues favorables sont (Pile,5) et (Pile,6), soit 2 sur 12.

Teste-toi : Comment trouve-t-on le nombre total d'issues avec un arbre ?voir la réponse

On multiplie le nombre de possibilités à chaque étape de l'arbre.

Probabilité et somme

La somme des probabilités de toutes les issues possibles est TOUJOURS égale à 1. Si P(A) est la probabilité d'un événement A, alors P(non A) = 1 − P(A). Un événement impossible a une probabilité de 0. Un événement certain a une probabilité de 1.

Exemple

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de tirer un cœur est 8/32 = 1/4. Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un cœur ?

Solution : P(pas cœur) = 1 − P(cœur) = 1 − 1/4 = 3/4. Ou directement : il y a 24 cartes qui ne sont pas des cœurs, donc 24/32 = 3/4.

Soit on calcule 1 − 1/4 = 3/4, soit on compte les 24 cartes non-cœur sur 32. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Teste-toi : Que vaut la somme des probabilités de toutes les issues ?voir la réponse

Elle vaut toujours 1.

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