📐 Fiche de révision · Maths 5e · Nombres et calculs

Équations du 1er degré

Fiche en 5 parties · lecture ~10 min · alignée sur le programme officiel de 5e

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation, c'est une égalité avec une inconnue (souvent notée x). C'est comme une balance : les deux côtés sont en équilibre. Notre but est de trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Une expression (comme 2x + 3) n'a pas de signe =, donc ce n'est PAS une équation.

Exemple

Dans l'équation 2x + 5 = 13, quelle est la valeur de x ?

Solution : On retire 5 des deux côtés : 2x = 8. Puis on divise par 2 : x = 4. Vérification : 2×4 + 5 = 13 ✓

On isole x en faisant les opérations inverses. Le contraire de +5 c'est −5, le contraire de ×2 c'est ÷2. On fait la même chose des deux côtés pour garder l'équilibre.

Teste-toi : Une équation contient-elle obligatoirement un signe égal ?voir la réponse

Oui, une équation contient obligatoirement un signe égal.

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Résoudre une équation : la règle d'or

Pour isoler x, on applique les opérations inverses des deux côtés. Quand on déplace un terme de l'autre côté du =, on change son signe (+ devient −, × devient ÷). C'est le principe de la balance : on fait pareil à gauche et à droite.

Exemple

Résous x − 7 = 12, puis x/4 = 5.

Solution : Pour x − 7 = 12 : on ajoute 7 aux deux côtés → x = 19. Pour x/4 = 5 : on multiplie par 4 → x = 20.

Dans x − 7 = 12, on fait le contraire de −7 qui est +7. Dans x/4 = 5, on fait le contraire de ÷4 qui est ×4. Toujours la même règle : opération inverse des deux côtés.

Teste-toi : Pour isoler x, utilise-t-on les opérations inverses ?voir la réponse

Oui, on utilise les opérations inverses pour isoler x.

Les équations avec x des deux côtés

Quand x apparaît des deux côtés du =, il faut d'abord regrouper tous les x du même côté. On déplace les x vers la gauche et les nombres vers la droite. N'oublie jamais de changer le signe quand tu traverses le = !

Exemple

Résous 5x + 3 = 2x + 15.

Solution : On enlève 2x des deux côtés : 3x + 3 = 15. On enlève 3 des deux côtés : 3x = 12. On divise par 3 : x = 4.

On a fait −2x pour enlever les x à droite, puis −3 pour isoler, puis ÷3. Vérification : 5×4+3 = 23 et 2×4+15 = 23 ✓

Teste-toi : Quand x est des deux côtés, que faut-il faire en premier ?voir la réponse

Il faut d'abord regrouper tous les termes avec x du même côté de l'égalité.

Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème avec une équation, suis ces étapes : 1) Choisis ton inconnue (ce que tu cherches = x), 2) Traduis les informations en égalité mathématique, 3) Résous l'équation, 4) Vérifie que ta solution a du sens dans le problème.

Exemple

Paul a 3 bonbons de plus que Marie. À eux deux, ils ont 25 bonbons. Combien Marie a-t-elle de bonbons ?

Solution : Soit x le nombre de bonbons de Marie. Paul en a x + 3. Équation : x + (x + 3) = 25. Soit 2x + 3 = 25. 2x = 22, donc x = 11. Marie a 11 bonbons, Paul a 14.

L'inconnue x est ce qu'on cherche (les bonbons de Marie). On traduit 'Paul a 3 de plus' par x+3. 'À eux deux 25' donne l'équation. La vérification : 11 + 14 = 25 ✓

Teste-toi : Pourquoi choisit-on une inconnue x dans un problème ?voir la réponse

On choisit une inconnue x pour représenter la quantité qu'on cherche.

Vérifier une solution

Vérifier une solution, c'est remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation de départ et vérifier que les deux côtés sont égaux. Cette étape te permet de détecter une erreur de calcul. Ne la saute jamais !

Exemple

On a trouvé x = 6 pour l'équation 3x − 5 = 2x + 1. Vérifie.

Solution : Gauche : 3×6 − 5 = 18 − 5 = 13. Droite : 2×6 + 1 = 12 + 1 = 13. Les deux côtés valent 13, donc x = 6 est correct.

On remplace x par 6 partout. Si les deux côtés donnent le même nombre, la solution est bonne. C'est comme un double-check indispensable.

Teste-toi : Comment vérifie-t-on qu'une solution est correcte ?voir la réponse

On remplace x par la valeur trouvée dans l'équation de départ et on vérifie que les deux côtés sont égaux.

Tu as lu la fiche. Maintenant, vérifie que c'est acquis.

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